주사위·동전의 확률 — 무작위의 기초
주사위 하나, 동전 하나에서 시작하는 확률은 의외로 일상 곳곳에 쓰입니다. 보드게임의 유불리를 읽고, 내기를 공정하게 만들고, "그냥 운에 맡기자"는 결정을 깔끔하게 끝낼 때 모두 같은 감각이 필요합니다. 가장 단순한 1/6과 1/2에서 출발해, 두 주사위의 합과 흔한 착각까지 차근차근 짚어 봅니다.
주사위 1개·동전 1개의 확률
공정한 주사위는 면이 6개라 각 눈이 나올 확률이 똑같이 1/6(약 16.7%)입니다. 동전은 면이 2개라 앞면·뒷면이 각각 1/2(50%)이고요. 핵심은 "모든 결과가 똑같이 일어날 수 있다"는 점이며, 여기서부터 모든 계산이 갈라집니다.
| 도구 | 결과 수 | 한 결과의 확률 |
|---|---|---|
| 동전 1개 | 2가지 | 1/2 (50%) |
| 주사위 1개 | 6가지 | 1/6 (약 16.7%) |
| 주사위 1개로 짝수 | 3가지(2·4·6) | 3/6 = 1/2 |
| 주사위 1개로 4 이상 | 3가지(4·5·6) | 3/6 = 1/2 |
주사위 두 개의 합, 7이 흔한 이유
주사위를 두 개 던져 합을 보면 이야기가 달라집니다. 경우의 수는 6×6으로 36가지인데, 같은 합을 만드는 조합 수가 합마다 다르기 때문입니다. 합 7은 조합이 6가지로 가장 많고, 합 2와 12는 단 1가지뿐이라 가장 드뭅니다. 그래서 확률은 가운데가 높은 산 모양이 됩니다.
| 합 | 만드는 조합 수 | 확률 |
|---|---|---|
| 2 또는 12 | 1가지 | 1/36 (약 2.8%) |
| 3 또는 11 | 2가지 | 2/36 (약 5.6%) |
| 4 또는 10 | 3가지 | 3/36 (약 8.3%) |
| 5 또는 9 | 4가지 | 4/36 (약 11.1%) |
| 6 또는 8 | 5가지 | 5/36 (약 13.9%) |
| 7 | 6가지 | 6/36 (약 16.7%) |
도박사의 오류와 활용
가장 흔한 착각은 "앞면이 계속 나왔으니 이제 뒷면이 나올 차례"라는 생각입니다. 이것을 도박사의 오류라고 부릅니다. 동전은 과거 결과를 기억하지 못하므로, 앞면이 다섯 번 연속 나왔어도 다음 한 번이 앞면일 확률은 여전히 1/2입니다. "앞면이 여섯 번 연속 날 확률 1/64"은 던지기 전에 미리 계산할 때의 이야기이고, 이미 다섯 번이 정해진 뒤의 마지막 한 번과는 별개입니다.
이 감각은 실제 결정에 유용합니다. 내기를 정할 때 "동전 한 번"이면 완벽히 공정하고, 여러 명 중 한 명을 뽑을 땐 주사위·난수로 모두에게 같은 확률을 줄 수 있습니다. 공정성을 더 깊이 보려면 주사위·동전 던지기 도구로 직접 여러 번 굴려 보며 분포를 확인해 보세요.
디지털 난수는 공정할까
- 컴퓨터의 난수는 계산으로 만든 의사난수지만, 일상 추첨·게임에는 충분히 공정합니다.
- 공정의 조건은 두 가지 — 각 결과 확률이 고르고, 아무도 미리 알거나 조작할 수 없을 것.
- 실제 주사위는 모서리가 닳거나 무게가 치우치면 편향됩니다 — 잘 만든 디지털 난수가 더 균일한 경우도 많습니다.
- 여러 번 굴려 결과가 1/6·1/2 근처로 모이는지 보면 공정성을 눈으로 확인할 수 있습니다.
주사위 두 개의 경우의 수는 6×6으로 36가지인데, 합이 7이 되는 조합이 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1로 6가지여서 가장 많기 때문입니다. 반대로 합 2(1+1)나 12(6+6)는 조합이 단 1가지뿐이라 가장 드뭅니다. 그래서 합의 확률은 가운데(7)가 높고 양 끝으로 갈수록 낮아지는 산 모양이 됩니다.
아닙니다. 그렇게 느끼는 것이 바로 '도박사의 오류'입니다. 공정한 동전은 과거 결과를 기억하지 못하므로, 앞면이 몇 번 연속 나왔든 다음 던지기에서 앞면과 뒷면이 나올 확률은 여전히 각각 1/2입니다. 다만 '앞면이 여섯 번 연속 나올 확률'을 던지기 전에 계산하면 1/64로 낮은데, 이는 이미 다섯 번 나온 뒤의 마지막 한 번의 확률과는 다른 이야기입니다.
컴퓨터가 만드는 난수는 엄밀히는 계산으로 만든 '의사난수'지만, 일상적인 추첨·게임·결정에는 충분히 공정합니다. 각 눈이 나올 확률이 1/6로 고르게 분포하고 사람이 결과를 미리 알거나 조작할 수 없으면 공정하다고 볼 수 있습니다. 실제 주사위도 모서리가 닳거나 무게가 치우치면 편향되므로, 잘 만든 디지털 난수가 오히려 더 균일한 경우가 많습니다.