최대공약수·최소공배수란 — 약분·통분과 실생활 활용
분수를 약분할 때, 일정을 다시 맞출 때, 톱니바퀴가 제자리로 돌아오는 시점을 따질 때 — 알게 모르게 우리는 최대공약수와 최소공배수를 씁니다. 학교에서 배운 두 개념을 약수·배수부터 다시 짚고, 구하는 법과 실생활 활용까지 정리했습니다.
약수와 배수 복습
약수는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수입니다. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 배수는 어떤 수를 정수배 한 값으로, 12의 배수는 12, 24, 36, 48…처럼 끝없이 이어집니다. 두 수를 동시에 만족하는 것을 각각 공약수, 공배수라고 부르며, 여기서 출발하면 두 개념이 한눈에 들어옵니다.
GCD와 LCM의 뜻
| 구분 | 뜻 | 12와 18의 예 |
|---|---|---|
| 최대공약수 (GCD) | 공약수 중 가장 큰 수 | 공약수 1·2·3·6 → 6 |
| 최소공배수 (LCM) | 공배수 중 가장 작은 수 | 공배수 36·72… → 36 |
즉 약수 쪽에서 가장 큰 것을 고르면 최대공약수, 배수 쪽에서 가장 작은 것을 고르면 최소공배수입니다. 영어 약자 GCD(Greatest Common Divisor)·LCM(Least Common Multiple)을 그대로 풀면 뜻이 보입니다.
구하는 두 가지 방법
- 소인수분해 — 12 = 2²×3, 18 = 2×3². 공통 소인수를 작은 지수로 모으면 GCD(2×3=6), 모든 소인수를 큰 지수로 모으면 LCM(2²×3²=36)입니다.
- 유클리드 호제법 — 큰 수를 작은 수로 나눈 나머지로 계속 바꿔 갑니다. 18÷12=나머지6, 12÷6=나머지0 → 나누는 수 6이 GCD. 수가 커도 빠릅니다.
약분·통분과 실생활
- 약분 — 분자·분모를 최대공약수로 나눠 가장 간단한 분수로 만듭니다. 18/12 → GCD 6으로 나눠 3/2.
- 통분 — 분모가 다른 분수를 더할 때 분모들의 최소공배수를 공통분모로 씁니다.
- 주기 맞추기 — 톱니 수가 다른 기어가 제자리로 돌아오는 시점, 주기가 다른 두 일정이 다시 겹치는 날은 최소공배수로 구합니다.
최대공약수(GCD)는 두 수를 동시에 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수이고, 최소공배수(LCM)는 두 수의 공통 배수 가운데 가장 작은 수입니다. 쉽게 말해 약수 쪽에서 가장 큰 것을 찾으면 최대공약수, 배수 쪽에서 가장 작은 것을 찾으면 최소공배수입니다. 12와 18이라면 최대공약수는 6, 최소공배수는 36입니다.
각 수를 소인수분해한 뒤, 공통으로 들어 있는 소인수의 곱을 모으면 최대공약수가 되고, 모든 소인수를 더 큰 지수로 모으면 최소공배수가 됩니다. 더 빠른 방법은 유클리드 호제법으로, 큰 수를 작은 수로 나눈 나머지로 계속 바꿔 가다 나머지가 0이 되었을 때의 나누는 수가 최대공약수입니다. 최소공배수는 두 수의 곱을 최대공약수로 나누면 바로 나옵니다.
분수를 약분할 때는 분자·분모의 최대공약수로 나누고, 분모가 다른 분수를 통분할 때는 분모들의 최소공배수를 공통분모로 씁니다. 또 톱니 수가 다른 두 기어가 처음 위치로 돌아오는 시점, 주기가 다른 두 신호나 일정이 다시 겹치는 날을 구할 때도 최소공배수를 사용합니다. 무언가를 가장 큰 덩어리로 똑같이 나누는 문제에는 최대공약수가 쓰입니다.