이차방정식 근의 공식 — 판별식과 풀이 정리
이차방정식은 ax²+bx+c=0 꼴(단, a는 0이 아님)의 식입니다. 풀이 방법은 인수분해·완전제곱식·근의 공식 세 가지인데, 어떤 식이든 통하는 만능 열쇠가 바로 근의 공식입니다. 여기에 판별식 한 줄을 더하면 근을 구하기 전에 근의 개수까지 알 수 있습니다.
근의 공식과 a·b·c
근의 공식은 x = ( −b ± √(b²−4ac) ) / 2a 입니다. 식을 ax²+bx+c=0 모양으로 정리한 다음, 계수 세 개를 그대로 대입하면 됩니다.
| 기호 | 뜻 | 예: 2x²−4x−6=0 |
|---|---|---|
| a | x²의 계수 | 2 |
| b | x의 계수 | −4 |
| c | 상수항 | −6 |
이 예를 대입하면 판별식은 (−4)²−4·2·(−6)=16+48=64, 루트를 씌우면 8이므로 x=(4±8)/4, 즉 x=3 또는 x=−1이 나옵니다. 부호 실수가 가장 흔한 함정이니 b와 c의 음수 부호를 꼭 챙기세요.
판별식 b²−4ac로 근 가려내기
루트 안의 값 b²−4ac를 판별식이라 부릅니다. 이 한 값의 부호만 봐도 실근의 개수가 정해집니다.
| 판별식 | 근의 종류 | 그래프 |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | 서로 다른 실근 2개 | x축과 두 점에서 교차 |
| b²−4ac = 0 | 중근(실근 1개) | x축에 접함 |
| b²−4ac < 0 | 실근 없음(허근 2개) | x축과 만나지 않음 |
인수분해·완전제곱식과의 관계
- 인수분해 — (x−p)(x−q)=0 꼴로 묶이면 곧바로 x=p, x=q. 정수로 떨어지는 깔끔한 문제에 가장 빠릅니다.
- 완전제곱식 — (x+m)²=n 꼴로 만들어 양변에 루트를 씌우는 방법. 근의 공식은 사실 이 과정을 일반화해 한 줄로 정리한 결과입니다.
- 근의 공식 — 위 두 방법이 막힐 때도 a·b·c만 있으면 무조건 풀립니다. 그래서 자신 없을 땐 공식이 가장 안전합니다.
포물선 그래프와 근의 의미
이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프는 포물선입니다. 방정식 ax²+bx+c=0의 근은 이 포물선이 x축(y=0)과 만나는 x좌표를 뜻합니다.
- 두 점에서 만나면 실근 2개, 한 점에서 접하면 중근, 만나지 않으면 실근이 없습니다 — 판별식 표와 정확히 맞물립니다.
- a가 양수면 아래로 볼록(U자), 음수면 위로 볼록(∩자)이라 만남의 방향이 달라집니다.
- 복잡한 계수는 손으로 계산하기 번거로우니, 아래 계산기에 a·b·c만 넣으면 근과 판별식을 풀이까지 함께 보여 줍니다.
눈으로 곱셈식이 보이면 인수분해가 가장 빠릅니다. 예를 들어 x²−5x+6=0은 (x−2)(x−3)=0으로 바로 풀려서 x=2, x=3이 나옵니다. 하지만 정수로 깔끔하게 떨어지지 않는 경우에는 인수분해가 어렵기 때문에 근의 공식이 안전합니다. 근의 공식은 a, b, c만 알면 어떤 이차방정식이든 풀리는 만능 도구라서, 헷갈릴 때는 공식을 쓰는 편이 실수를 줄여 줍니다.
네, 판별식 b²−4ac의 부호만 보면 근을 직접 구하지 않고도 개수를 알 수 있습니다. 값이 0보다 크면 서로 다른 실근이 두 개, 정확히 0이면 중근(겹치는 실근) 하나, 0보다 작으면 실근이 없고 허근 두 개입니다. 그래프로 보면 포물선이 x축과 두 점에서 만나는지, 한 점에서 접하는지, 아예 만나지 않는지에 대응합니다.
실수 범위에서는 답이 없는 게 맞지만, 복소수 범위까지 넓히면 허근도 엄연한 근입니다. 판별식이 음수일 때 루트 안이 음수가 되어 허수 i가 등장할 뿐, 근의 공식 자체는 그대로 적용됩니다. 중·고등학교 문제에서 '실근이 없다'고 답하라는 것은 실수 범위로 한정한다는 뜻이며, 공학·물리에서는 허근도 진동 같은 현상을 설명하는 데 쓰입니다.