사다리타기는 정말 공정할까 — 확률의 비밀

점심 내기 사다리에서 또 걸렸습니다. 기분 탓일까요? 절반은 맞고 절반은 틀립니다 — 사다리타기는 결과가 절대 겹치지 않는 영리한 구조지만, 가로줄이 적으면 확률이 자리에 따라 쏠립니다. 그 수학을 가볍게 풀어 봅니다.

왜 결과가 절대 안 겹칠까

• 사다리의 가로줄 하나는 이웃한 두 세로줄의 자리를 맞바꾸는 동작입니다.
• 위에서 아래로 내려가며 맞바꾸기를 거듭해도, "서로 자리를 바꾸는" 동작만으로는 두 사람이 같은 곳에 도착할 수 없습니다 — 수학에서 말하는 순열(자리 섞기)이기 때문입니다.
• 그래서 사다리타기는 참가자 수와 결과 수가 같을 때 전원이 서로 다른 결과를 받는 것이 보장됩니다. 이 성질이 사다리타기의 진짜 장점입니다.

그런데 왜 확률은 쏠릴까

• 가로줄 하나는 이웃끼리의 교환이므로, 멀리 있는 자리로 가려면 여러 번의 교환을 거쳐야 합니다 — 끝자리에서 반대편 끝으로 가는 길은 그만큼 드뭅니다.
• 손으로 그리는 사다리는 가로줄이 적고(보통 참가자 수보다 약간 많은 정도) 간격도 습관을 타서, 결과 분포가 균등에서 꽤 멀어질 수 있습니다.
• "내 자리 바로 아래 당첨이 있으면 피하고 싶다"는 직감은 수학적으로 일리가 있는 셈입니다.

가로줄, 몇 개면 충분할까

• 기준: 참가자 수의 2~3배 이상. 4명이면 10개 안팎, 6명이면 15개 이상.
• 많이 그릴수록 분포는 균등에 가까워지지만, 손으로 그리는 한 배치 습관의 영향은 남습니다.
• 줄 수를 세며 그리는 것 자체가 번거롭다면 — 컴퓨터 난수로 배치한 사다리가 답입니다.

더 공정하게 뽑는 법

1. 난수 사다리 — 무작위 배치 사다리는 자리별 유불리가 사실상 사라집니다.
2. 랜덤 추첨기·돌림판 — 과정의 재미보다 확실한 균등이 중요하면 이쪽이 정답입니다.
3. 아날로그파라면 제비뽑기 — 접은 종이를 섞는 방식이 손그림 사다리보다 균등합니다.
4. 당첨이 부담스러운 내기일수록 방식을 먼저 합의하세요 — 공정함의 절반은 절차의 투명함입니다. 추첨 방식별 비교는 공정한 추첨 가이드에서 다룹니다.